В одномерном исчислении определённый интеграл $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$ выражает чистую площадь под кривой. Вводя трёхмерное пространство, мы расширяем эту логику для нахождения объём объёма под поверхностью $z = f(x, y)$.
1. Формальное определение
Мы определяем двойной интеграл функции $f$ по замкнутому прямоугольнику $R = [a, b] \times [c, d]$ как предел двойной суммы Римана:
$$\iint_R f(x, y) \, dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*) \Delta A$$
где $\Delta A = \Delta x \Delta y$ — площадь подпрямоугольника $R_{ij}$, а $(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ — любая точка выборки внутри $R_{ij}$.
1. Геометрическое разбиение: Разделите $R$ на $m \times n$ подпрямоугольников $R_{ij}$, где $x_i = a + i\Delta x$ и $y_j = c + j\Delta y$.
2. Приближение твёрдого тела: Для каждого $R_{ij}$ постройте столбик высотой $f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$. Объём $V$ твёрдого тела $S$ приближённо равен $V \approx \sum \sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A$.
3. Предел: По мере того как сетка становится бесконечно мелкой ($m, n \to \infty$), приближение сходится к точному объёму.
2. Теорема об среднем значении
Точно так же, как средняя высота кривой в одном измерении равна $\frac{1}{b-a}\int f(x)dx$, среднее значение поверхности $z=f(x,y)$ над областью $R$ равно:
$$f_{ave} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y) \, dA$$
Это значение $f_{ave}$ представляет высоту одного прямоугольного бруса с основанием $R$, объём которого равен объёму сложного тела под поверхностью.